Алгебра
Алгебрата (от арабски ал джабр - „възстановяване“) е дял на математиката, обобщение на аритметиката, в което се използват буквени обозначения за числата.
Предмет на съвременната алгебра са множества с дефинирани за тях алгебрични операции с точност до изоморфизъм. Наричат ги универсални алгебри и конкретното им естество не е от значение за алгебрата. Един от най-важните типове алгебри са групите - алгебри с една асоциативна бинарна операция, притежаващи единица и за всеки елемент - обратен елемент. Най-важните типове алгебри с две бинарни операции са пръстените, полетата и решетките.
Първите работи върху универсални алгебри са от тридесетте години на XX в. и принадлежат на Г. Биркхоф.
Условно в алгебрата може да бъдат определени следните направления:
- елементарна алгебра — най-старият дял на алгебрата, в който се изучават алгебричните изрази и уравнения с елементи естествени и комплексни числа.
- абстрактна алгебра или висша алгебра — дял от математиката, базиран на аксиоматичния подход за изучаването на алгебрични системи, като групи, тела, полета и пръстени.
- свойствата на линейните пространства се изучават в линейната алгебра.
- компютърната алгебра се занимава със създаването и изучаването на алгоритми за символни пресмятания с математически обекти, примерно символно диференциране и интегриране.
Наред с фундаменталната роля на алгебрата вътре в математиката тя има и голямо приложно значение - във физиката (представяне на крайните групи в квантовата механика, дискретните групи в кристалографията), в кибернетиката (теорията на автоматите), в икономиката (линейните неравенства)и др.
Съдържание |
"Алгебрични" като определение към "числа", "уравнения" и др.
Алгебричен като математическо определение има следните значения:
- Алгебричното уравнение е уравнение, което изисква при формулирането си само краен брой елементарни действия (събиране, изваждане, умножение и деление).
- Алгебричните числа са нули на полиноми с рационални коефициенти; множеството на алгебричните числа е алгебрично допълнение на множеството на рационалните числа.
- Алгебричният елемент разширява понятието за алгебрично число като нула на полином с коефициенти от произволно дадено тяло.
История
Основните аритметични операции - аритметичните действия с естествени и положителни рационални числа, се срещат в най-ранните математически текстове и това свидетелства, че основните свойства на тези действия са били известни още в дълбоката древност. Значително е влиянието върху развитието на алгебрата и нейната символика на съчинението "Аритметика" на Диофант (III в.).
Най-рано терминът "алгебра" се среща през 825 г. у персийския астроном, математик и географ Ал Хорезми. В неговия труд „Сбит трактат за пресмятанията чрез възстановяване и сравняване“ (на арабски: الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة, приблизителна транскрипция: Ал-кутуб ал-мухтасар фии хисааб ал-джабар уа-л-мукаабала), ал-джабар, т.е. възстановяването, се нарича действието, при което даден член на уравнението се прехвърля от другата страна на равенството с противоположен знак. Сравняване (ал-мукаабала) Ал Хорезми нарича изваждането на едно и също число от двете страни на уравнението.
В края на XV в. в тежките словесни описания на алгебричните действия започват да се появяват знаците " + ", " - ", след това знаци за степени, корени, скоби. Франсоа Виет (в края на XVI в.) първи използва буквени означения както за неизвестните, така и за известните величини. В края на XVII в. в общи линии е изградена съвременната алгебрична символика. През следващите три века сме свидетели на същинското развитие на алгебрата, при което предметът на нейните изследвания се изменя няколко пъти.
През XVII - XVIII в. алгебрата се приема като наука за буквени изчисления за разлика от аритметиката, която се занимава с изчисления с конкретни числа. Под буквени числа се разбирали цели и дробни числа. Според Ойлер това са цели числа, обикновени и десетични дроби, корени, логаритми, алгебрични уравнения от I - IV степен, диофантови уравнения, нютонов бином и др. В началото на XIX в. основната задача на алгебрата е решаването на алгебрични уравнения с едно неизвестно. Има се пред вид решение в радикали. В края на XVIII в. Гаус успява да докаже основната теорема на алгебрата - че всеки многочлен с комплекни коефициенти има корен в полето на комплексните числа. През 1824 г. Н. Х. Абел доказва, уравненията от степен, по-висока от четвърта, в общия случай не са решими в радикали. През 1830 г. Еварист Галоа посочва общ критерий за решимост на агебричните уравнения в радикали. Успоредно с анализа на уравненията математиците работят и върху системи линейни уравнения и тук възникват понятията "матрица" и "детерминанта".
През средата на XIX в. центърът на тежестта се премества върху изследване на алгебричните операции. Предпоставка за това са комплекните числа. Възникват алгебата на логиката на Дж. Бул, външните алгебри на Х. Грасман, кватернионите на Хамилтон, матричното смятане на А. Кейли и т. н. Това са основите на съвременната алгебра като обща теория на алгебричните операции. Тя се оформя в началото на XX в. под влияние на работите на Д. Хилберт, Е. Щейниц, Е. Артин, Е. Ньотер и най-вече на публикуваната през 1930 г. работа на Ван дер Варден "Съвременна алгебра".
Вижте също
Алгебра на Ли
Литература
- Б. Л. Ван-дер Варден, Алгебра. М., Наука, 1979.
- С. Ленг, Алгебра. М., Мир, 1968.
Why are we here?
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
This page is cache of Wikipedia. History