Епициклоида

Конструкция на епициклоида

Епициклоида в геометрията е равниннна крива от четвърта степен, получена като геометричното място на фиксирана точка от окръжност, наречена епицикъл, която се търкаля от външната страна на друга окръжност, наречена направляваща, с радиус равен или по-голям от радиуса на епицикъла.

Уравнения

Ако радиусът на епицикъла е означен с r, а този на направляващата окръжност - с R, то параметричните уравнения на епициклоидата са:

$\begin{cases} x(\theta) = (R + r)\cos \theta - r \cos (\frac{R + r}{r} \theta) \\ y(\theta) = (R + r)\sin \theta - r \sin (\frac{R + r}{r} \theta) \end{cases}$ ,

където $θ$ е ъгълът между абсцисната ос и правата свързваща центровете на двете окръжности.

Да положим R = rk. Тогава:

ако k е цяло число, кривата е затворена и има k на брой рогови точки.
ако k е рационално число, от вида $k = \frac{p}{q}$ , където p и q са взаимно прости, кривата е затворена и има p на брой рогови точки.
ако k е ирационално число, тогава кривата е безкрайна, никога не достига изходното си положение и с графиката си изпълва пръстеновидната фигура с вътрешен радиус R и външен R+2r.

Епициклоидата е частен случай на епитрохоида, при която точката, която описва въртеливото движение, е фиксирана върху окръжността. Епициклоида с една рогова точка (при r = R) са нарича кардиоида (от "кардиа", "сърце"), с две рогови точки - нефроида (от "nephros", "бъбрек"), а с пет рогови точки - ранункулоида (от "ranunculus", "лютиче").

Примери за епициклоиди
k=1	k=2	k=3	k=4
k=2.1=21/10	k=3.8=19/5	k=5.5=11/2	k=7.2=36/5

История

Идеята за епициклите се заражда още в древността, когато Аполоний и Хипарх се опитват да ги използват за обясняване движението на небесните тела. Думата "епицикъл" се среща у Теон от Смирна (130 г.пр.н.е.) и у Птолемей. Съставена е от "επι", "към" и "κυκλος", "кръг". Първата конкретна епициклоида е разглеждана геометрично от Албрехт Дюрер през 1525 г. Около 1674 г. Оле Рьомер показва, че зъбните колела с форма на епициклоида изпитват минимално триене. Епициклоидите се срещат и в труда на Исак Нютон "Математически принципи на натуралната философия", в които той показва редица техни приложения в механиката. Бернули и Лопитал също ги разглеждат, под името "roulettes extérieures". За първи път тези криви са систематично представени от Филип де Лаир, който открива повечето от свойствата им, изчислява квадратурите, ректифицира кривите и ги "узаконява" с познатото днес наименование.

Вижте също

Използвани източници

"The Penguin Dictionary of Mathematics", John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989
"Лексикон Математика", Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN: 954-584-146-Х
"Математически термини", Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984
"Математически енциклопедичен речник", В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983

Външни препратки

Категория: Криви

Why are we here?
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
This page is cache of Wikipedia. History