Скаларно произведение на два вектора

Скаларното произведение на два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ е число (скалар), което е равно на произведението от големините им и косинуса на ъгъла между тях. Ъгълът между два вектора приема стойности от 0° до 180°, следователно скаларното произведение на два вектора може да приема и положителни, и отрицателни стойности. Скаларното произведение на нулевия вектор с всеки друг вектор е равно на 0.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a}^T \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3\\ \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = \Vert\vec{a}\Vert \Vert\vec{b}\Vert \cos(\theta)$

Свойства

$\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$
$\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})= \vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$
$(k\vec{a})\cdot\vec{b}= k(\vec{a}\cdot\vec{b})$

Намиране на ъгъл между две прави чрез скаларно произведение на вектори

Ако $A B$ и $C D$ са две прави и φ е ъгълът между тях, то cos(φ) е равен на модула от скаларното произведение на векторите $A B$ ^→ и $C D$ ^→, разделено на произведението на дължините на отсечките $A B$ и $C D$ .

$\cos(\theta) = {\vec{a}\cdot\vec{b} \over \Vert\vec{a}\Vert \Vert\vec{b}\Vert}$

Важно свойство на скаларното произведение на два вектора е, че ако правите $A B$ и $C D$ са перпендикулярни, скаларното произведение на $A B$ ^→ и $C D$ ^→ е равно на 0, защото cos(90°)=0.

Намиране дължина на отсечка

Голямо практическо приложение скаларното произведение на векторите намира при търсенето на дължина на отсечка. Тъй като ъгълът между два равни вектора е 0°, косинусът на този ъгъл винаги е 1. Следователно коренът от $A B$ ^→ умножено по себе си е равен на дължината на отсечката $A B$ .

Категория: Геометрия

Why are we here?
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
This page is cache of Wikipedia. History