Функция

Графика на функцията

y = x 2

Функция е математически термин, изразяващ вид зависимост между две величини. При тази зависимост едната от величините, наричана независима променлива или аргумент, еднозначно определя втората величина, наричана зависима променлива или стойност на функцията. Функциите са един от най-основните обекти в математиката и се използват във всички природни и инженерни науки.

Има много начини за описването на една функция: чрез формула, чрез графика, чрез алгоритъм, по който се пресмята стойността ѝ, чрез описание на свойствата ѝ или чрез описание на връзката ѝ с други функции. В приложните дисциплини функциите най-често се представят чрез формула или чрез таблица от стойности.

Терминология, означения и примери

Функциите се срещат във всички области на математиката и природните науки, но различните области имат различни означения, различна представа за свойствата на функциите и дори различна дефиниция. Теорията на множествата разглежда функциите в най-голяма общност. Единственото свойство, което се изисква от една функция, е да съпоставя единствена стойност на всеки свой допустим аргумент. Не се изисква аргументът или стойността да са числа, например функцията, която съпоставя на всяка държава нейната столица, не задава зависимост между числови множества. В алгебрата функциите обикновено се изразяват с помощта на алгебрични операции. Функциите, изследвани в анализа, обикновено притежават допълнителни свойства като непрекъснатост или диференцируемост. Пример за такава функция е функцията синус. Обикновено изучаваните там функции не могат да се изразят с една единствена формула. В комплексния анализ се разглеждат аналитични функции, които могат да се изразят чрез развитие в безкраен ред. В комплексния анализ се разглеждат и специален клас многозначни функции, които могат да съпоставят повече от една стойност на даден аргумент. Въпреки че формално погледнато те не са функции, те имат много близки свойства до свойствата на аналитичните функции. За разлика от теорията на множествата в ламбда-смятането функциите са примитивен обект и не се дефинират посредством множества. В повечето области на математиката термините карта, изображение и трансформация, оператор се използват като синоними на функция. В някои случаи обаче те могат да имат по-специално значение. Например под трансформация често се разбира функция, за която множество на аргументите и множество на стойностите съвпадат. В теорията на категориите се използва понятието морфизъм, което е обобщение на някои видове функции.

Функциите обикновено се означават със символи от латинската или гръцката азбука. Стойността, която функцията f приема при аргумент x, се означава с f(x). Множеството от допустими стойности на аргумента се нарича дефиниционна област на функцията.

Формална дефиниция

Една приблизителна дефиниция на понятието функция е следната: Нека A и B са множества. Функция от A в B е правило, което съпоставя на всеки елемент от A точно един елемент от B. Тази интуитивна представа за функциите се използва от древни времена и все още се среща на места, където строга дефиниция не е необходима, например в училищните учебници по математика. Проблемът при нея е, че зависи от неясното понятие правило.

Поради това в теорията на множествата се използва следната дефиниция: Частична функция f от множество A в множество B се дефинира да бъде множеството $G f$ , представляващо подмножество от наредени двойки $(x, y)$ от декартовото произведение $A\times B$ такова, че за всяко $x\in A$ съществува най-много едно $y\in B$ такова, че $(x,y)\in G_f$ . Ако за всяко x съществува точно едно такова y, f се нарича тотална функция. Под функция обикновено се разбира тотална функция. Множеството $G f$ се нарича графика на функцията.

История на понятието

Обекти, които според съвременните разбирания се считат за функции, са били разглеждани още в дълбока древност. В древен Вавилон например са открити таблици на квадратите и кубовете на естествените числа. Птолемей е изчислявал дължини на хорди в окръжност, което по същество означава, че е използвал тригонометрични функции. Идеята за понятието обаче започва да се оформя през 14 век. Самото понятие функция се използва за първи път от Готфрид Лайбниц около 1670 г. Функциите, които той е разглеждал, днес се наричат диференцируеми функции и са най-често срещаният вид функции от нематематици. За тях имат смисъл понятията граница и производна.

По-късно през 1755 г.Леонард Ойлер дава в книгата си Institutiones calculi differentialis съвременното разбиране за функция, а именно зависимост между две величини, при което промяната на едната величина (аргументът на функцията) води до промяната на другата (стойността на функцията). Въпреки това определение обаче Ойлер разглежда само непрекъснати функции, които могат да се изразят с формула, състояща се от крайно или безкрайно много алгебрични операции. Фурие започва да раглежда и някои прекъснати функции, но той смята, че всяка функция може да се изрази чрез ред на Фурие. Дирихле за пръв път разглежда числовите функции в пълната им общност. Той дава съвременната дефиниция на непрекъсната функция и дава пример за навсякъде прекъсната функция. Също така изяснява разликата между функцията и нейното представяне чрез формули.

Източници

J. J. O'Connor и E. F. Robertson (2005) The function concept

Външни връзки

Функции

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Function_(mathematics)“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.

Категория: Функции

Why are we here?
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
This page is cache of Wikipedia. History