Хипоциклоида

Конструкция на хипоциклоида

В геометрията, хипоциклоида е равнинна крива, която се дефинира като геометричното място на фиксирана точка от окръжност, която се търкаля по вътрешната страна на друга окръжност, наречена направляваща, с радиус по-голям от радиуса на първата.

Съдържание

1 Уравнение
2 История
3 Вижте също
4 Използвани източници
5 Външни препратки

Уравнение

Нека търкалящата се окръжност има радиус r, а направляващата окръжност - R. Тогава параметричните уравнения на кривата се задават с:

$\begin{cases} x(\theta) = (R - r) \cos \theta + r \cos(\frac{R - r}{r} \theta) \\ y(\theta) = (R - r) \sin \theta + r \sin(\frac{R - r}{r} \theta) \\ \end{cases}$ ,

където $θ$ е ъгълът образуван от абсцисната ос и правата минаваща през центровете на двете окръжности.

Нека представим R във вида R = kr. Тогава:

ако k е цяло число, то кривата е затворена и има k на брой рогови точки.
ако k е рационално число, представимо във вида $k = \frac{p}{q}$ , p и q взаимно прости , то кривата е затворена и има p на брой рогови точки.
ако k е ирационално число, кривата никога не се затваря и с графиката си изпълва равнинна пръстеновидна фигура с външен радиус R и вътрешен R - r.

Примери за хипоциклоди
k=3	k=4	k=5	k=6
k=2.1	k=3.8	k=5.5	k=7.2

Хипоциклоидата е частен случай на хипотрохоида, при която фиксираната точка принадлежи на окръжността. Хипоциклоидата с четири рогови точки е известна като астроида.

История

Наименованието идва от гръцки, съставено е от "", "под" и "", "кръгообразен". Първата циклоида е разгледана от Албрехт Дюрер в "Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Rychtscheyd" ("Наставление за измерването с пергел и линийка", 1525). Филип де Лаир извършва първото систематично изследване на хипоциклоидите и епициклоидите, като намира квадратурите им, извършва ректификации и построения на допирателните. По-късно с тези криви се занимават и Ойлер, Сере, Монж и др.

Вижте също

Използвани източници

"The Penguin Dictionary of Mathematics", John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989
"Лексикон Математика", Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN: 954-584-146-Х
"Математически енциклопедичен речник", В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983

Външни препратки

Категория: Криви

Why are we here?
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
This page is cache of Wikipedia. History